Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.
Приступая к решению задач по теме , учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.
Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(х А; у А) и В(х В; у В), выполняется по формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) , где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.
Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(х М; у М), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(х М 2 + у М 2).
1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек
Пример 1 .
Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).
Решение.
В условии задачи дано: х А = 2; х В = -4; у А = -5 и у В = 3. Найти d.
Применив формулу d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), получим:
d = АВ = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.
2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек
Пример 2.
Найти координаты точки О 1 , которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).
Решение.
Из формулировки условия задачи следует, что О 1 А = О 1 В = О 1 С. Пусть искомая точка О 1 имеет координаты (а; b). По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) найдем:
О 1 А = √((а – 7) 2 + (b + 1) 2);
О 1 В = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2);
О 1 С = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).
Составим систему из двух уравнений:
{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2),
{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).
После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:
{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 2) 2 + (b – 2) 2 ,
{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 1) 2 + (b + 5) 2 .
Упростив, запишем
{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.
Решив систему, получим: а = 2; b = -1.
Точка О 1 (2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2) .
3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки
Пример 3.
Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.
Решение.
Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и АВ = 10.
Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).
АВ = √((а + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((а + 5) 2 + 36).
Получаем уравнение √((а + 5) 2 + 36) = 10. Упростив его, имеем
а 2 + 10а – 39 = 0.
Корни этого уравнения а 1 = -13; а 2 = 3.
Получаем две точки А 1 (-13; 0) и А 2 (3; 0).
Проверка:
А 1 В = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
А 2 В = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).
4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек
Пример 4.
Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).
Решение.
Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О 1 (0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О 1 А = О 1 В.
По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:
О 1 А = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);
О 1 В = √((а + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).
Имеем уравнение √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) или 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 .
После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.
Необходимая по условию задачи точка О 1 (0; 4) (рис. 4).
5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки
Пример 5.
Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).
Решение.
Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р 1 и Р 2 (рис. 5) . Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.
Из условия задачи следует, что МА = МР 1 = МР 2 , МР 1 = а; МР 2 = |-a|,
т.е. |-a| = а.
По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:
МА = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2).
Составим уравнение:
√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.
После возведения в квадрат и упрощения имеем: а 2 – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а 1 = 1; а 2 = 5.
Получаем две точки М 1 (-1; 1) и М 2 (-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.
6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки
Пример 6.
Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.
Решение.
Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).
По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) имеем:
МА = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).
Составим уравнение:
√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Упростив его, получим: b 2 – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b 1 = 2; b 2 = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М 1 (5; 2) и М 2 (5; 10).
Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.
Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
В §§ 5, 6 и 10 этой главы мы рассмотрим некоторые простейшие задачи аналитической геометрии, к которым часто приводятся многие более сложные задачи. Одной из таких задач является задача о расстоянии между двумя точками.
Пусть в выбранной на плоскости прямоугольной системе координат заданы две точки Выразим расстояние d между этими двумя точками через их координаты.
Найдем проекции точек А и В на координатные оси (рис. 8). Будем иметь:
Через одну из данных точек, например А, проведем прямую параллельно оси абсцисс до пересечения в точке С с прямой
Из прямоугольного треугольника АСВ получим:
(здесь АС и СВ - длины сторон треугольника АСВ). Но так как
(гл. 1, § 3), то
Ясно, что здесь нужно брать арифметическое значение корня.
Таким образом, расстояние между двумя данными точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.
Замечание. Если данные точки А к В будут располагаться на прямой, параллельной координатной оси, то треугольника ABC мы не получим, однако формула (3) и в эгом случае будет справедлива. Действительно, если, например, точки А к В будут лежать на прямой, параллельной оси Ох, то, очевидно, (гл. I, § 3). Это же получится и из формулы (3), так как в этом случае
Теорема 1. Для любых двух точек иплоскости расстояниемежду ними выражается формулой:
Например, если даны точки и, то расстояние между ними:
2. Площадь треугольника.
Теорема
2.
Для любых точек
, не лежащих на одной прямой, площадь треугольника выражается формулой:
Например, найдем площадь треугольника, образованного точками ,и.
Замечание. Если площадь треугольника равна нулю, это означает, что точки лежат на одной прямой.
3. Деление отрезка в заданном отношении.
Пусть на плоскости дан произвольный отрезок и пусть
–любая точка этого отрезка, отличная от точек концов. Число , определенное равенством, называетсяотношением, в котором точка делит отрезок.
Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению и данным координатам точек
и найти координаты точки.
Теорема
3.
Если
точка
делит отрезок
в
отношении
,
то
координаты этой точки определяются
формулами:
(1.3), где– координаты точки,– координаты точки.
Следствие: Если – середина отрезка
, где и, то(1.4) (т.к.).
Например. Даны точки и. Найти координаты точки, которая в два раза ближе к, чем к
Решение: Искомая точка делит отрезок
в
отношении
так как
,
тогда
,
,
получили
Полярные координаты
Наиболее
важной после прямоугольной системы
координат является полярная система
координат. Она состоит из некоторой
точки
,
называемойполюсом
,
и исходящего из нее луча
–полярной
оси
.
Кроме того, задается единица масштаба
для измерения длин отрезков.
Пусть задана полярная система координат и пусть – произвольная точка плоскости. Пусть – расстояние от точки
до точки ;– угол, на который нужно повернуть полярную ось для совмещения с лучом.
Полярными координатами точки называются числаи. При этом числосчитается первой координатой и называетсяполярным радиусом , число – второй координатой и называетсяполярным углом.
Обозначается . Полярный радиус может иметь любое неотрицательное значение:. Обычно считают, что полярный угол изменяется в следующих пределах:. Однако в ряде случаев приходится определять углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.
Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами.
Будем
считать, что начало прямоугольной
системы координат находится в полюсе,
а положительная полуось абсцисс совпадает
с полярной осью.
Пусть – в прямоугольной системе координат и– в полярной системе координат. Определен– прямоугольный треугольник с. Тогда(1.5). Эти формулы выражают прямоугольные координаты через полярные.
С другой стороны, по теореме Пифагора и
(1.6)
– эти формулы, выражают полярные
координаты через прямоугольные.
Заметим, что формула определяет два значения полярного угла, так как. Из этих двух значений углавыбирают тот, при котором удовлетворяются равенства.
Например, найдем полярные координаты точки ..или, т.к.I четверти.
Пример
1:
Найти точку, симметричную точке 
Относительно биссектрисы первого координатного угла.
Решение:
Проведем через точку А прямую l 1 , перпендикулярную биссектрисе l первого координатного угла. Пусть . На прямой l 1 отложим отрезок СА 1 , равный отрезку АС. Прямоугольные треугольники АСО и А 1 СО равны между собой (по двум катетам). Отсюда следует, что |ОА | = |OA 1 |. Треугольники ADO и ОЕА 1 также равны между собой (по гипотенузе и острому углу). Заключаем, что |AD | = |ОЕ| = 4, |OD| = |EA 1 | = 2, т.е. точка имеет координаты х = 4, у = -2, т.е. А 1 (4;-2).
Отметим, что имеет место общее утверждение: точка A 1 , симметричная точке относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, имеет координаты , то есть.
Пример 2: Найти точку, в которой прямая, проходящая через точки и , пересечет ось Ох.
Решение:
Координаты искомой точки С есть (x ; 0). А так как точки А , В и С лежат на одной прямой, то должно выполняться условие (x 2 -x 1 )(y 3 -y 1 )-(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 ) = 0 (формула (1.2), площадь треугольника ABC равна нулю!), где – координаты точки А , – точкиВ , – точкиС . Получаем , т.е., , . Следовательно, точка С имеет координаты ,, т.е..
Пример 3: В полярной системе координат заданы точки ,. Найти:а) расстояние между точками и; б) площадь треугольника ОМ 1 М 2 (О – полюс).
Решение:
а) Воспользуемся формулами (1.1) и (1.5):
то есть, .
б) пользуясь формулой для площади треугольника со сторонами а и b и углом между ними (), находим площадь треугольника ОМ 1 М 2 . .
В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.
Определение 1
Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.
Исходные данные: координатная прямая O x и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число х A , оно же – координата точки А.
В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.
Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой О А отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка O A по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.
К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату - 4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние О А равно 3 ; во втором случае О А = 4 .
Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4 111 .
Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна 11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то O A = x A (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то O A = - x A . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа x A .
Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:
- 0, если точка совпадает с началом координат;
- x A , если x A > 0 ;
- - x A , если x A < 0 .
При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой x A : O A = x A
Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B , лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты x A и x B: A B = x B - x A .
Исходные данные: точки A и B , лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат O x y с заданными координатами: A (x A , y A) и B (x B , y B) .
Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат O x и O y и получим в результате точки проекции: A x , A y , B x , B y . Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:
Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;
Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси O x (оси абсцисс), то точки и совпадают, а | А В | = | А y B y | . Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то A y B y = y B - y A , а, следовательно A B = A y B y = y B - y A .
Если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси O y (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: A B = A x B x = x B - x A
Если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:
Мы видим, что треугольник А В С является прямоугольным по построению. При этом A C = A x B x и B C = A y B y . Используя теорему Пифагора, составим равенство: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , а затем преобразуем его: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0
Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A
Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A
Исходные данные: прямоугольная система координат O x y z с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить расстояние между этими точками.
Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: A x , A y , A z , B x , B y , B z
Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: A x B x , A y B y и A z B z
Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2
Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:
A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A
Преобразуем выражение:
A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2
Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:
A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
Полученная формула действительна также для случаев, когда:
Точки совпадают;
Лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.
Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками
Пример 1Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A (1 - 2) и B (11 + 2) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B .
Решение
- Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно O A = 1 - 2 = 2 - 1
- Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2
Ответ: O A = 2 - 1 , A B = 10 + 2 2
Пример 2
Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней A (1 , - 1) и B (λ + 1 , 3) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние А В будет равно 5 .
Решение
Чтобы найти расстояние между точками A и B , необходимо использовать формулу A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2
Подставив реальные значения координат, получим: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16
А также используем имеющееся условие, что А В = 5 и тогда будет верным равенство:
λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3
Ответ: А В = 5 , если λ = ± 3 .
Пример 3
Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат O x y z и лежащие в нем точки A (1 , 2 , 3) и B - 7 , - 2 , 4 .
Решение
Для решения задачи используем формулу A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
Подставив реальные значения, получим: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9
Ответ: | А В | = 9
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Каждая точка А плоскости характеризуется своими координатами (х, у). Они совпадают с координатами вектора 0А , выходящего из точки 0 - начала координат.
Пусть А и В - произвольные точки плоскости с координатами (х 1 y 1) и (х 2 , у 2) соответственно.
Тогда вектор AB имеет, очевидно, координаты (х 2 - х 1 , y 2 - y 1). Известно, что квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат. Поэтому расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, определяется из условия
d 2 = (х 2 - х 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .
$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$
Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек
Каждый раз, говоря о координатах той или иной точки плоскости, мы имеем в виду вполне определенную систему координат х0у. А вообще-то систему координат на плоскости можно выбирать по-разному. Так, вместо системы координат х0у можно рассмотреть систему координат хִу , которая получается в результате поворота старых осей координат вокруг начальной точки 0 против часовой стрелки на угол α .
Если некоторая точка плоскости в системе координат х0у имела координаты (х, у), то в новой системе координат хִу она будет иметь уже другие координаты (х, у).
В качестве примера рассмотрим точку М, расположенную на оси 0х и отстоящую от точки 0 на расстоянии, равном 1.
Очевидно, что в системе координат x0у эта точка имеет координаты (cos α , sin α ), а в системе координат хִу координаты (1,0).
Координаты любых двух точек плоскости А и В зависят от того, как в этой плоскости задана система координат. А вот расстояние между этими точками не зависит от способа задания системы координат .
Другие материалы